贝塞尔函数及其性质

2024-01-21 14:45| 来源: 网络整理| 查看: 265

贝塞尔方程(the Bessel differential equation)在物理学诸多领域都有非常广泛的应用，如柱坐标下波的传播，薛定谔方程的解，薄膜振动，热传导等等。下面不加证明地总结贝塞尔函数的一些性质，相关证明较为繁琐，可查看相关专著，如：《数学物理方法》—吴崇试等；《数学物理方法》—顾樵；Mathematical Methods for Physicists—Arfken and Weber。

如下图所示：受敲击的鼓面振幅沿半径方向的分布就是一个贝塞尔函数(考虑正负号)。实际上，这些振动是各阶贝塞尔函数的叠加。

图片来源网络1 贝塞尔方程

$x^2\frac{d^2F}{dx^2}+x\frac{dF}{dx}+(x^2-v^2)F=0, x=kr\\$ 显然，这是一个二阶齐次线性常微分方程，其解为：

$F(x)=c_1J_v(x)+c_2Y_v(x)\\$ 其中，为阶数，

J_v(x)=J_v(kr) 为第一类贝塞尔函数 (Bessel functions of the first kind)，

Y_v(x)=Y_v(kr) 为第二类贝塞尔函数 (Bessel functions of the second kind)，有的也记为 N_v(x) 。

第一类贝塞尔函数积分表达式

对于整数阶n，

$J_n(x)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n\tau-x \sin \tau) \mathrm{d} \tau=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{i(n\tau-x \sin \tau)} \mathrm{d} \tau\\$ 该公式也叫：Hansen-Bessel formula.

对于非整数阶 $\alpha$ ，且 Re(x) 0 ,

$J_\alpha(x)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (\alpha \tau-x \sin \tau) \mathrm{d} \tau-\frac{\sin \alpha \pi}{\pi} \int_0^{\infty} e^{-x \sinh t-\alpha t} \mathrm{d} t\\$

第二类贝塞尔函数表示式

对非整数阶 $\alpha$ ，

$Y_\alpha(x)=\frac{J_\alpha(x) \cos (\alpha \pi)-J_{-\alpha}(x)}{\sin (\alpha \pi)}\\$ 对整数阶n，

$Y_n(x)=\lim _{\alpha \rightarrow n} Y_\alpha(x)\\$

2 函数图像第一类贝塞尔函数图像

特点：

1)奇阶第一类贝塞尔函数为奇函数；偶阶为偶函数。(奇阶为奇，偶阶为偶)

2)贝塞尔函数最大值小于等于1，当x趋于无穷时，其值趋于0，且有无穷个零点。

据《数学物理方法》—吴崇试等第二类贝塞尔函数图像

据《数学物理方法》—吴崇试等3 性质1 递推关系

$\frac{d}{dx}[x^vJ_v(x)]=x^vJ_{v-1}(x)\\$ $\frac{d}{dx}[x^{-v}J_v(x)]=-x^{-v}J_{v+1}(x)\\$ 特别地：

$J_{v-1}-J_{v+1}=2J_v'(x)\\$ $J_{v-1}+J_{v+1}=\frac{2vJ_v(x)}{x}\\$

2 正交性

$\int_{0}^{+\infty}J_m(kr)J_m(k'r)rdr=\frac{1}{k}\delta(k-k'),(m\geq-1;k,k'0)\\$ 上式证明可参考该文献：Revisiting the orthogonality of Bessel functions of the first kind on an infinite interval—J Ponce de Leon.